Można, ale w moim odczuciu, w zapisie jedynie na chacha można się natknąć częściej niż bardzo rzadko, przy czym we wszystkich tych formach zdecydowanie dominuje forma przez H, więc jest to forma jakiejś tam niekonsekwencji.

Jedzą, piją, lulki, palą 
Tańce, hulanka, swawola; 
Ledwie karczmy nie rozwalą,
Cha cha, chi chi, hejza, hola!

też: śmichy-chichy. Nie widzę tu żadnej niekonsekwencji.

kazanie
ale
kaznodzieja

Brückner wyprowadza kaznodzieję od kaźni 'przykazania', urobionej przyrostkiem -ń jak da-ń (btw, może z tego -źń wyrosło jak w bojaźń, przyjaźń?).
Ciekawa dyspalatalizacja kaźń > kazn-o-dzieja jak w świn-o-pas, kon-o-wał.

wierzyciel
ale
wierzytelność, wierzytelny

zawadiaka - zawadiacki
ale:
hulaka - hulaszczy 

Juliusz Cezar (też Oktawiusz, Wezuwiusz, Flawiusz, Antoniusz, Pliniusz, Pompejusz) ale Brutus, Tytus, Cyrus, Spartakus itd.
Z NT: Tycjusz Justus

tę, ale już tamtą (a nie tamtę)!!!!

Tak, pod sam koniec XIX wieku tamtę zdradziła zaimki i przeszła do przymiotników (tak jak wcześniej: moję, twoję), tylko właśnie tę wskutek frekwencji (jeszcze?) jako tako się trzyma, ale już młodsze roczniki dążą do tą.   

Ciekawe zamieszanie z rozkaźnikami:
dk: dać, dam - daj!
ndk: dawać, daję (/dawam?) - dawaj!

dk: poznać, poznam - poznaj!
ndk: poznawać, poznaję (/poznawam?) - poznawaj!

I jeszcze jedno:
spoczynkowe: stać, stoję - stój!
dk: stanąć, stanę - stań!
wszystko okej, ale znowuż:
ndk: stawać, staję (/stawam?) - stawaj! ale obocznie też: staj!  
Spotkaliście się kiedykolwiek z tą ostatnią formą?

EDIT: Wygląda na to, że cząstka -wa- przy niedokonanych została wprowadzona (/utrzymana?) dla różnicy od rozkaźników dokonanych typu daj, poznaj.

Co ciekawsze, dochodzi w tych czasownikach do homonimii w 3os. lmn.: poznają - poznać (dk) / poznawać (ndk)? I nie pomaga nawet dalsza prefiksacja: rozpoznają (przyszłość? / teraźniejszość?).
W gwarach północnej Polski (Wielkopolska, Kujawy, Kociewie, północne Mazowsze), dla uzyskania czasu jednoznacznie przyszłego, na wszelki wypadek dla czasowników dokonanych zmienia się końcówkę -ją na -dzą (na wzór podadzą (cz. przyszły) - podają (cz. ter.), na przykład w powieści T. Nowakowskiego, bydgoszczanina ("Obóz Wszystkich Świętych") : Niemcy wojny nie wygradzą!   

odpowiedź, wypowiedź, spowiedź i zapowiedź,
ale
przepowiednia

a) Wil-no - wileński, Grod-no - grodzieński, Boch-nia - bocheński
b) Opocz-no - opoczyński, Chełm-no - chełmiński, Kęp-no - kępiński, Żuraw-no - żurawiński, Wrześ-nia - wrzesiński
c) Gniez-no - gnieźnieński, Kros-no - krośnieński
d) Kol-no - kolneński, Pilz-no - pilzneński 

uchodźca,
ale
zdrajca